Las Matemáticas sin secretos: Probabilidades

En las estadísticas básicas se emplean expresiones matemáticas que tratan de analizar los experimentos aleatorios, tal como el lanzamiento de un dado para determinar la posibilidad de obtener un número par o lanzar cuatro monedas para calcular la probabilidad de obtener tres caras, siempre considerando la lógica matemáticacon un nivel jerárquico privilegiado.

La posibilidad de que ocurra un suceso se relaciona con la frecuencia que un acontecimiento determinado se repita en un experimento aleatorio, a mayor frecuencia, mayor será la probabilidad que un suceso o evento ocurra.

Este enunciado es más parecido a un artículo del código penal, mucho enredo literario, por lo que recurriré a un ejemplo sencillo para confirmar que sí es posible estudiar las Matemáticas sin secretos. Formulemos una situación real, como buscar una caja de cartón y colocar dentro de ella unas 6 esferas de colores:

Se tienen: 3 esferas rojas, 2 esferas azules y 1 esfera verde.

Lo primero que debemos hacer es definir los parámetros (caja y 6 esferas), el evento o suceso (extraer esferas de la caja), el espacio muestral (número de esferas), pregunta de análisis (formulación del problema), expresión matemática (regla de Laplace).

Una manera de recordar o resaltar el espacio muestral, es colocando el número de elementos que participan en el conjunto aleatorio dentro de un rectángulo, al lado de la imagen representativa. En este caso son 6 elementos, 6 esferas de colores que he mostrado en la imagen anterior.

¿Cuál es la probabilidad de meter la mano dentro de la caja y sacar una esfera de color en el primer intento?

La memoria histórica nos señala que fue Pierre Simon Laplace quien retoma las propuestas sobre eventos aleatorios y formula la Regla de Laplace, que relaciona la frecuencia relativa, después de repetir el evento aleatorio un número finito de veces, con la que ocurre dicho evento. Él propone la siguiente relación matemática:

A representa el evento aleatorio que se analiza, en este caso es extraer una esfera de color verde, así que la probabilidad de extraer una esfera verde se puede escribir como P(verde), mientras que el número TOTAL de casos posibles se relaciona con el espacio muestral = 6 y el número de casos favorables para que ocurra el evento A, es decir sacar una esfera de color verde, se relaciona con la cantidad de elementos de color verde que componen el conjunto del espacio muestral, que en este ejemplo es 1.

La probabilidad de extraer una esfera de color rojo es 0,167, puesto que el rango de probabilidad fluctúa entre 0 y 1, pero con frecuencia es mejor expresar la probabilidad de ocurrencia de un evento en forma porcentual, es decir P() = 16,7%.

Si las 6 esferas fuesen de color verde, entonces la probabilidad de extraer una esfera de color verde en el primer intento sería del 100%. Esto es lo que se conoce como un evento seguro.

Veamos otro evento de extracción, aprovechando este conjunto de esferas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una esfera de color en el primer intento?

Note que la probabilidad de extraer una esfera de color azul se duplica en comparación con el ejemplo anterior, debido a que existen 2 esferas de color azul, así P() = 33,3%. Si nos preguntan sobre la posibilidad de extraer una esfera de color blanco, entonces la P(blanco) = 0, porque sabemos que dentro de la caja no hay esferas de ese color en específico. Esto es lo que se conoce como un evento imposible.

¿Cuál es la probabilidad de extraer una esfera de color en el primer intento?

Repetimos el procedimiento del experimento aleatorio de extraer esferas de una caja, determinamos el espacio muestral (6), establecemos el suceso de extraer una esfera de un color determinado (rojo), subconjunto de casos favorables o cantidad de elementos que forman parte del evento que se analiza, en esta oportunidad se relaciona al número de esferas de color rojo (3).

Note que la probabilidad aumenta significativamente hasta llegar al 50,0%, esto de debe a que en este experimento aleatorio, todas las posibilidades son equiprobables y aumenta a medida que el número de elementos del subconjunto se aproxima al número de elementos del espacio muestral o conjunto del sistema aleatorio.

Con estos resultados se puede demostrar que la sumatoria de cada una de las probabilidades corresponderá al 100% del conjunto aleatorio. Veamos con el siguiente cálculo:

Cuando se habla de procesos aleatorios o eventos al azar, los relacionamos con juegos donde el resultado no lo conocemos y puede resultar cualquier cosa, así que sigamos "jugando" con este ejemplo. Preguntemos ahora, ¿cuál es la probabilidad de meter la mano dentro de la caja, extraer una esfera de color o extraer una esfera de color ?

En este caso se trata de una unión de eventos, la probabilidad de extraer una esfera azul unida (equivalente a una suma) a la probabilidad de extraer una esfera verde.

¿Cuál es la probabilidad de meter la mano dentro de la caja, extraer una esfera de color regresarla a la caja y seguidamente extraer una esfera de color ?

Note primeramente que se trata de un caso de extracción con reposición, es decir que saca la esfera, la mira para ver el color y la regresa a la caja, luego saca nuevamente otra esfera. Este tipo de experimento aleatorio es conocido como intersección de sucesos, donde se verifica la ocurrencia de eventos a la vez.

La lógica matemática nos alerta sobre la posibilidad de extraer una esfera azul y luego una verde es de menor porcentaje que sacar una o la otra, también es menor que extraer un color específico, puesto que en este experimento aleatorio se es más específico la ocurrencia de estos 2 eventos.

Finalmente, ¿cuál es la probabilidad de meter la mano dentro de la caja, extraer una esfera de color sin regresarla a la caja y seguidamente extraer una esfera de color ?

Cuando el caso de extracción sea sin reposición significa que el espacio muestral se verá afectado por cada evento de extracción, así que las probabilidades, según la Regla de Laplace, irán cambiando.

Lógicamente, la probabilidad aumenta porque el espacio muestral disminuyó.

En este artículo hemos visto la siguiente temática:

• Probabilidad de ocurrencia de un evento
• Suceso o evento
• Espacio muestral
• Regla de Laplace
• Unión e intersección de sucesos

Apoyo bibliográfico y fuente de imágenes

Nuestras ideas y conocimientos que podamos tener sobre el tema tratado en este artículo pueden ampliarse de manera voluntaria al consultar el siguiente catálogo de referencias:

• Imagen de geralt: Portada "Probabilidades"
• Blog: Probabilidad: conceptos básicos
• Blog: ¿Qué es probabilidad?
• Video YouTube: Regla de Laplace